一、函数的概念

$x与y在定义域x∈D内呈现1对1或者1对多的关系，x为自变量，y为因变量， 则y=f(x)$。

注意：这里一个$x$一定不能对应多个$y$

二、函数的特性

函数的有界性：$|f(x)|$≤$M$

注意：有界和无界的讨论首先要指明区间$I$

• 若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
• 若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=A$ ，$\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=B$ 都存在，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界
• 【推论】函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内只含第一类间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
• 设函数 $f(x)$ 在有限开区间 $(a,b)$ 可导，且 $|f'(x)| \le M$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界

<aside> 💡 函数在闭区间连续，则闭区间一定有界

</aside>

<aside> 💡 函数在开区间连续，区间端点极限存在，则开区间一定有界

</aside>

<aside> 💡 函数在开区间可导，且导函数有界，则原函数一定有界

</aside>

函数的单调性：

单调性判别：

1. 定义法

   

2. 求导法

• 若 $f'(x)>0$ ，则 $f(x)$ 单调增加
• 若 $f'(x)<0$ ，则 $f(x)$ 单调减少

⭐函数的奇偶性