一、解的构思

$AB=O且B为非0矩阵，B的列向量是齐次方程Ax=0的解$

$$ AB=A(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(A\beta_1,A\beta_2,A\beta_3)=(0,0,0)\\A\beta_1=0，A\beta_2=0，A\beta_3=0\\即\beta_1\beta_2\beta_3是Ax=0的解\\又因B非O矩阵，所以\beta_1\beta_2\beta_3一定有非0,即Ax=O有非零解\\这样克拉默法则不就来了！|A|=0 $$

二、秩的构思

• 对于 $AB=O$
  • 若 $A_{mn},B_{ns},AB=O$ ， 则 $r(A)+r(B) \le n$
  • $A(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=0,即B的所有列向量都是Ax=0的通解（上方）$
  • 特别的，若 $A^2=A,$ 即 $A(A-E)=O,r(A)+r(A-E)=n$